/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Podzielność/1 literka

Zadanie nr 5977081

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie 5 4 n − 3n − n+ 19 jest podzielne przez 16.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

5 4 5 4 4 n − 3n − n + 19 = n − 3n − n + 3 + 16 = n (n − 3)− (n − 3) + 16 = = (n4 − 1)(n − 3) + 16 = (n 2 − 1 )(n2 + 1)(n− 3)+ 16 = 2 = (n− 1)(n + 1)(n + 1)(n − 3 )+ 1 6

Teraz wystarczy zauważyć, że jeżeli n jest liczbą nieparzystą, w każdym z nawiasów mamy liczbę parzystą, więc iloczyn tych nawiasów jest podzielny przez 2 4 = 16 . To oczywiście oznacza, że cała liczba też jest podzielna przez 16.

Wersja PDF