Zadanie nr 8209684
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba
jest podzielna przez 30.
Rozwiązanie
Ponieważ
![5n3 − 5n = 5(n3 − n),](https://img.zadania.info/zad/8209684/HzadR0x.png)
wystarczy udowodnić, że liczba dzieli się przez 6. Zauważmy, że
![3 2 n − 5n = n (n − 1) = n(n − 1 )(n+ 1) = (n − 1)n (n+ 1).](https://img.zadania.info/zad/8209684/HzadR2x.png)
Ponieważ jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, to liczba ta jest podzielna przez 3 (bo jedna z liczb: ,
lub
dzieli się przez 3). Ponadto,
jest liczbą parzystą jako iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. Całe wyrażenie dzieli się więc przez 6.