Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9425403

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba  3 n + 5n jest podzielna przez 6.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zapiszmy dane wyrażenie w postaci

 3 2 n + 5n = n (n + 5).

Zauważmy najpierw, że powyższa liczba na pewno jest parzysta: albo n jest parzyste, albo parzysta jest liczba n2 + 5 .

Wystarczy zatem wykazać, że liczba ta dzieli się przez 3. Jeżeli n dzieli się przez 3, to sprawa jest oczywista, więc załóżmy, że n = 3k + 1 lub n = 3k+ 2 . Mamy wtedy odpowiednio

 2 2 2 n + 5 = (3k+ 1) + 5 = 9k + 6k+ 6 n 2 + 5 = (3k+ 2)2 + 5 = 9k2 + 12k + 9.

W obu przypadkach liczba n 2 + 5 dzieli się przez 3, więc rzeczywiście liczba  3 n + 5n dzieli się przez 6.

Sposób II

Zauważmy, że

 3 3 n + 5n = (n − n) + 6n = (n − 1)n(n + 1)+ 6n.

Zauważmy teraz, że pierwszy składnik tej sumy jest iloczynem trzech kolejnych liczb całkowitych, wśród których musi być liczba parzysta oraz liczba podzielna przez 3. Zatem (n − 1)n(n + 1) jest liczbą podzielną przez 6. Drugi składnik sumy: 6n też oczywiście dzieli się przez 6, co kończy dowód.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!