/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Podzielność/2 literki

Zadanie nr 5255700

Dane są liczby całkowite a i b . Wykaż, że jeżeli liczba 3 a jest podzielna przez a + b , to liczba b3 też jest podzielna a+ b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów

a 3 + b3 = (a+ b )(a2 − ab + b 2)

Mamy zatem

b 3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2)− a 3

Widać teraz, że liczba ta dzieli się przez a+ b jako różnica dwóch liczb dzielących się przez a + b .

Wersja PDF