Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1685579

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5, maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca to ⟨2 ,+∞ ) . Największa wartość funkcji f w przedziale ⟨− 8,− 7⟩ jest równa (− 24) . Wyznacz wzór funkcji f i narysuj jej wykres.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Od początku myślmy sobie o wykresie funkcji f . Ponieważ ma ona być malejąca dokładnie na przedziale ⟨2,+ ∞ ) , wykres musi być parabolą o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie x = 2 . Wiemy ponadto, że punkcie x = 5 jest miejsce zerowe, co pozwala nam dość dokładnie naszkicować prawą połówkę paraboli (chociaż wciąż nie wiemy jaka dokładnie jest wartość funkcji w x = 2 ).


PIC


Ponieważ parabola jest symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek, łatwo odgadnąć jakie jest jej drugie miejsce zerowe: jest to punkt położony symetrycznie do x = 5 względem punktu x = 2 , czyli x = − 1 .

Z powyższej analizy wiemy, szukana funkcja ma wzór postaci

f(x ) = a(x + 1)(x − 5).

Pozostało wyliczyć a . Z naszkicowanego obrazka widać, że największa wartość f w przedziale ⟨− 8,− 7⟩ to f(− 7) (bo funkcja jest w tym przedziale rosnąca). Mamy więc

− 24 = f(− 7) = a(− 7+ 1)(− 7− 5 ) 1 − 24 = a ⋅(− 6)⋅(− 12 ) ⇒ a = − --. 3

Zatem

 1 f(x) = − -(x + 1)(x − 5). 3

 
Odpowiedź:  1 f(x ) = − 3(x + 1)(x − 5)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!