/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Wyznacz wzór

Zadanie nr 8410008

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem 2 f (x) = ax + bx + c . Zbiorem rozwiązań nierówności f (x) > − 9 jest przedział (− 2,10) , a zbiorem rozwiązań nierówności f (x) < − 24 jest zbiór (−∞ ,− 5) ∪ (13,+ ∞ ) . Oblicz współczynniki a,b i c funkcji f .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że z podanych informacji wynika, że miejscami zerowymi funkcji f (x)+ 9 są liczby: x = − 2 i x = 10 , a miejscami zerowymi funkcji f (x)+ 24 są liczby: x = − 5 i x = 13 .

Sposób I

Z podanych informacji wiemy, że wykresem funkcji f jest parabola o ramionach skierowanych w dół i osi symetrii o równaniu x = −2+210-= 4 (bo oś symetrii musi przechodzić przez środki podanych zbiorów rozwiązań nierówności). Funkcja f ma więc wzór postaci

2 f (x) = a(x − 4) + q.

Współczynniki a i q wyznaczymy korzystając z tego, że f (− 2)+ 9 = 0 i f (−5 )+ 2 4 = 0 . Mamy więc

{ 0 = 36a + q + 9 0 = 81a + q + 24

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić q ) i mamy

1 0 = 45a+ 15 ⇒ a = − -. 3

Stąd q = − 36a − 9 = 12− 9 = 3 i funkcja f ma wzór

f(x) = a(x− 4 )2+ q = − 1-(x− 4)2+ 3 = − 1x2 + 8x − 1-6+ 3 = − 1x 2+ 8-x− 7. 3 3 3 3 3 3 3

Sposób II

Wiemy, że miejscami zerowymi funkcji f(x) + 9 są liczby x = − 2 i x = 10 . Zatem

f (x)+ 9 = a(x + 2)(x − 10 ) ⇒ f(x) = a (x+ 2)(x− 10)− 9.

Współczynnik a wyznaczymy korzystając z tego, że f(− 5) + 24 = 0

0 = a ⋅(− 3)⋅(− 1 5)− 9 + 2 4 = 45a + 15 45a = − 15 ⇒ a = − 1. 3

Zatem

1 1 1 8 7 f(x) = − -(x + 2)(x − 10) − 9 = − --(x2− 8x− 20)− 9 = − --x2+ -x − --. 3 3 3 3 3

Na koniec wykres funkcji f dla ciekawskich.

PIC

 
Odpowiedź: ( ) (a,b,c) = − 1, 8,− 7 3 3 3

Wersja PDF