Zadanie nr 5643673

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem m2−m-−2- 2 2 f(x ) = m2−m −6x − 2 (m − 2)x + m − m − 6 dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których rozwiązaniem nierówności f (x) < 0 jest przedział postaci (a ,b) , gdzie a < 0 < b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozłóżmy najpierw trójmiany pojawiające się we wzorze funkcji .

2 2 m − m − 2 = 0 , m − m − 6 = 0 Δ = 1+ 8 = 9 Δ = 1 + 2 4 = 25 1 − 3 1 + 3 1− 5 1 + 5 m 1 = ------= −1 , m 2 =------= 2, m 1 = ------= − 2, m 2 = ------= 3. 2 2 2 2

Zatem

f(x ) = (m-+--1)(m-−-2-)x2 − 2(m − 2)x+ (m + 2)(m − 3). (m + 2)(m − 3 )

Ze względu na mianownik we wzorze musi oczywiście być m ⁄= − 2 i m ⁄= 3 . Skoro rozwiązaniem nierówności f(x) < 0 ma być przedział (a ,b ) , to wykresem funkcji f(x) musi być parabola o ramionach kierowanych w górę, czyli współczynnik przy 2 x musi być dodatni. Mamy więc

(m-+-1)(m--−-2)-> 0 (m + 2)(m − 3) (m + 2)(m + 1)(m − 2 )(m − 3) > 0 m ∈ (− ∞ ,− 2)∪ (− 1,2 )∪ (3,+ ∞ ).

Sprawdźmy teraz, kiedy funkcja ma dwa miejsca zerowe.

(m + 1)(m − 2) 0 < Δ = 4(m − 2)2 − 4⋅ ----------------⋅(m + 2)(m − 3) = (m + 2)(m − 3) = 4(m − 2)2 − 4(m + 1 )(m − 2) = = 4(m − 2)(m − 2− (m + 1)) = − 12 (m − 2) m ∈ (− ∞ ,2 ).

Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a.

( 2(m −2) 2(m+ 2)(m −3) |{ x1 + x2 = -(m+1)(m−2) = ---(m-+1)--- (m+2)(m−3) 2 2 |( x1x2 = (m(m++21))(m(m−−23))-= (m-+2)(m-−3) . (m+2)(m−3) (m+ 1)(m −2)

Informacja o tym, że rozwiązaniem nierówności f(x ) > 0 jest przedział (a,b) , gdzie a < 0 < b oznacza, że pierwiastki wielomianu muszą mieć różne znaki, czyli musi być spełniona nierówność x x < 0 1 2 . Tak będzie, gdy