/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem/1 literka

Zadanie nr 7205400

Funkcja f jest określona wzorem k2+9k+14 2 f(x ) = k− 1 x + (k + 2)x + k − 1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru k , dla których funkcja f przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze względu na k− 1 w mianowniku musi być oczywiście k ⁄= 1 . Rozłóżmy na początek trójmian w liczniku współczynnika przy x 2 .

Δ = 81 − 56 = 2 5 −-9-−-5 −-9+--5 m = 2 = − 7 lub m = 2 = − 2.

Zatem

(k-+-7)(k+--2) 2 f(x ) = k − 1 x + (k + 2)x + k − 1.

Funkcja ma przyjmować wartość największą, więc współczynnik przy x2 musi być ujemny. Mamy więc

(k+ 7 )(k+ 2 ) --------------< 0 k − 1 (k + 7)(k + 2)(k − 1) < 0 k ∈ (− ∞ ,− 7) ∪ (− 2,1).

Sprawdźmy teraz, kiedy funkcja ma dwa miejsca zerowe.

(k + 7)(k+ 2) 0 < Δ = (k + 2)2 − 4 ⋅-------------- ⋅(k− 1) = k − 1 = (k + 2)2 − 4(k + 7)(k + 2) = (k + 2)(k + 2 − 4(k + 7)) = ( ) = (k + 2)(− 3k − 26) = − 3(k+ 2) k+ 26- 3 ( 26 ) k ∈ − --,− 2 . 3

Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a.

( |{ x 1 + x 2 = (−k+(k7)+(k2+)2)= − (k−1) --(k−1)-- (k+7) | x x = --(k−-1)- = --(k−1)2--. ( 1 2 (k+(7)k−(k+1)2) (k+7)(k+2)

Pierwiastki mają takie same znaki wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni (na szczęście nie musimy się zastanawiać jaki jest znak zera, bo dla k ⁄= 1 pierwiastki danego równania są niezerowe). Mamy więc nierówność

2 ---(k−--1)---- 0 < x1x2 = (k+ 7)(k+ 2) k ∈ (− ∞ ,−7 )∪ (− 2,1) ∪ (1,+ ∞ ).

Łącząc wszystkie otrzymane warunki mamy

( 26 ) k ∈ − ---,− 7 . 3

Ponieważ interesują nas tylko wartości całkowite k , mamy stąd k = − 8 .  
Odpowiedź: k = − 8

Wersja PDF