/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem/1 literka

Zadanie nr 7368095

Funkcja f jest określona wzorem m2+m-−6- 2 f(x ) = m− 5 x − (m − 2)x + m − 5 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m , dla których funkcja f przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze względu na m − 5 w mianowniku musi być oczywiście m ⁄= 5 . Rozłóżmy na początek trójmian w liczniku współczynnika przy x 2 .

Δ = 1+ 24 = 25 −-1-−-5 −-1+--5 m = 2 = − 3 lub m = 2 = 2.

Zatem

(m--+-3)(m-−--2)-2 f(x) = m − 5 x − (m − 2)x + m − 5.

Funkcja ma przyjmować wartość największą, więc współczynnik przy x2 musi być ujemny. Mamy więc

(m + 3)(m − 2) ---------------- < 0 m − 5 (m + 3)(m − 2)(m − 5) < 0 m ∈ (− ∞ ,− 3)∪ (2,5 ).

Sprawdźmy teraz, kiedy funkcja ma dwa miejsca zerowe.

(m + 3)(m − 2) 0 < Δ = (m − 2)2 − 4⋅---------------- ⋅(m − 5 ) = m − 5 = (m − 2)2 − 4(m + 3)(m − 2) = (m − 2)(m − 2− 4(m + 3)) = ( ) = (m − 2)(− 3m − 1 4) = − 3(m − 2) m + 14- 3 ( 1 4 ) m ∈ − ---,2 . 3

Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a.

( |{ x 1 + x 2 = (m(m+3−)(2m)−2)= (m−5)- --(m−5)- (m+3) | x x = --(m-−5)--= --(m−-5)2---. ( 1 2 (m+(3m)(−m5−)2) (m+ 3)(m− 2)

Pierwiastki mają takie same znaki wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni (na szczęście nie musimy się zastanawiać jaki jest znak zera, bo dla m ⁄= 5 pierwiastki danego równania są niezerowe). Mamy więc nierówność

2 ----(m-−-5-)---- 0 < x1x2 = (m + 3)(m − 2) m ∈ (− ∞ ,− 3)∪ (2 ,5 )∪ (5,+ ∞ ).

Łącząc wszystkie otrzymane warunki mamy

( 14 ) m ∈ − --,− 3 . 3

Ponieważ interesują nas tylko wartości całkowite m , mamy stąd m = − 4 .  
Odpowiedź: m = − 4

Wersja PDF