/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem/1 literka

Zadanie nr 8215275

Funkcja f określona wzorem 2 f (x ) = mx + mx − 1 . Wyznacz te wartości parametru m , dla których:

  • funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne,
  • zbiorem wartości funkcji f jest przedział (− ∞ ;0 ⟩ .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Na początek zauważmy, że dla m = 0 , funkcja jest postaci f (x) = − 1 i spełnia warunki pierwszego podpunktu, ale nie drugiego. Dalej będziemy się tylko zajmować przypadkiem m ⁄= 0 , czyli przypadkiem, gdy f jest funkcją kwadratową.

  • Aby funkcja przyjmowała tylko wartości ujemne jej wykres musi mieć ramiona skierowane w dół, czyli m < 0 i musi być Δ < 0 . Liczymy
    0 > Δ = m 2 + 4m = m (m + 4) ⇒ m ∈ (− 4,0 ).

    W połączeniu z warunkiem m < 0 i wcześniej rozpatrzonym m = 0 mamy

    m ∈ (− 4,0 ⟩

     
    Odpowiedź: m ∈ (− 4,0⟩

  • Podobnie jak poprzednio ramiona muszą być skierowane w dół, ale tym razem musi być Δ = 0 (żeby zbiorem wartości był cały zbiór (− ∞ ;0⟩ ). Zatem m = − 4 (m = 0 wykluczyliśmy wcześniej).  
    Odpowiedź: m = − 4
Wersja PDF