Zadanie nr 5087961

Funkcja kwadratowa 2 f(x ) = ax + bx − 18 ma dwa miejsca zerowe: x1 = − 2 i x 2 = 9 . Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji.

Rozwiązanie

Sposób I

Na mocy wzorów Viète’a mamy

{ − 1a8 = x1x2 = − 18 ⇒ a = 1, b − a = x1 + x2 = −2 + 9 = 7 ⇒ b = − 7.

czyli

f(x) = x 2 − 7x − 1 8.

Ponadto, pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji jest równa

x1 +-x2- 7- xw = 2 = 2 .

Najmniejsza wartość funkcji jest więc równa

( ) y = f(x ) = f 7- = 49-− 49-− 18 = − 121. w w 2 4 2 4

Sposób II

Podstawiamy podane wartości funkcji do danego wzoru funkcji i otrzymujemy układ równań

{ 0 = 4a − 2b − 18 / : 2 { 0 = 81a + 9b − 18 / : 9 0 = 2a − b− 9 0 = 9a + b− 2

Dodajemy teraz równania stronami (żeby skrócić ) i mamy

0 = 11a − 11 ⇒ a = 1.

Stąd b = 2a − 9 = −7 i

f(x ) = ax2 + bx − 18 = x2 − 7x − 18.

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji jest równa

b 7 xw = − ---= -. 2a 2

Najmniejsza wartość funkcji jest więc równa

( ) 7 49 49 121 yw = f(xw ) = f -- = ---− ---− 18 = − ---. 2 4 2 4

Odpowiedź: (7 ) 121 fmin = f 2 = − -4-