/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem/2 literki

Zadanie nr 5636061

Funkcja kwadratowa 2 f(x ) = x + bx + c nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że 1 + c > b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wykresem funkcji y = f(x ) jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc jeżeli funkcja ta nie ma miejsc zerowych, to przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie. W szczególności

0 < f(− 1) = 1 − b + c b < 1 + c.

Sposób II

Jeżeli funkcja y = f (x) nie ma miejsc zerowych, to jej wyróżnik musi być ujemny.

0 > Δ = b2 − 4c / : 4 b2- c > 4 .

Wystarczy więc udowodnić, że zawsze

b2 ---≥ b − 1 / ⋅4 4 b2 − 4b + 4 ≥ 0 2 (b − 2) ≥ 0.

Zatem rzeczywiście

2 c > b--≥ b − 1 4 c+ 1 > b.
Wersja PDF