Funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+4, osiąga wartości ujemne wtedy... Zadania.info: rozwiązanie zadania, 2 literki, 9353293

Forum

Z parametrem

Zadanie nr 9353293

Funkcja kwadratowa $2 f(x ) = ax + bx + 4$ , osiąga wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy $x ∈ (− ∞ ,− 3)∪ (1 ,+ ∞ )$ .

Wyznacz wartości współczynników $a$ i $b$ .
Napisz postać kanoniczną funkcji $f$ .
Podaj wzór funkcji kwadratowej $g$ , której wykres otrzymamy przesuwając wykres funkcji $f$ o wektor $→ u = [2,− 130]$ .
Wyznacz te argumenty $x$ , dla których $f (x) ≥ 4$ .

Rozwiązanie

Z podanej informacji wynika, że ramiona paraboli są skierowane w dół oraz przecina ona oś $Ox$ w punktach $x = − 3$ i $x = 1$ . Współczynniki $a$ i $b$ możemy wyliczyć sprawdzając, kiedy te liczby są pierwiastkami danej funkcji. Prościej jednak jest skorzystać ze wzorów Viète’a. $4-= x x = − 3 ⇒ a = − 4- a 1 2 3 b 8 − a-= x1 + x2 = − 2 ⇒ b = 2a = − 3.$

Odpowiedź: $a = − 43,b = − 83$
Liczymy (zwijamy do pełnego kwadratu) $4 8 4 − --x2 − -x + 4 = − -(x2 + 2x )+ 4 = 3 3 3 = − 4((x + 1)2 − 1)+ 4 = − 4-(x+ 1)2 + 4+ 4 = − 4-(x+ 1)2 + 16. 3 3 3 3 3$

Odpowiedź: $− 43(x + 1)2 + 136$
Korzystamy ze wzoru na przesunięcie funkcji $y = f(x )$ o wektor $→ v = [a,b]$ : $y = f (x− a)+ b.$
W naszej sytuacji mamy
$g(x ) = f(x − 2) − 10-= − 4-(x − 2+ 1 )2 + 16-− 10-= − 4(x − 1 )2 + 2. 3 3 3 3 3$

Odpowiedź: $− 43(x − 1)2 + 2$
Korzystamy od razu z postaci kanonicznej $− 4-(x+ 1)2 + 16-≥ 4 / ⋅3 3 3 − 4(x + 1)2 + 16 ≥ 1 2 − 4(x + 1)2 ≥ − 4 2 (x + 1) ≤ 1 − 1 ≤ x + 1 ≤ 1 / − 1 − 2 ≤ x ≤ 0.$

Odpowiedź: $x ∈ ⟨− 2,0⟩$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!