Zadanie nr 1021818
Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 60 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy . Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Sposób I
Podany tangens oznacza, że
![BC--= -5-, AC 12](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR1x.gif)
więc możemy oznaczyć i
dla pewnego
. Na mocy twierdzenia Pitagorasa
![∘ --------------- √ --------- c = (5x)2 + (12x)2 = x 25 + 144 = 13x.](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR5x.gif)
Korzystamy teraz z podanego obwodu.
![60 = 5x+ 12x + 13x = 30x ⇒ x = 2.](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR6x.gif)
Pole trójkąta jest więc równe
![1 1 P = 2-⋅5x ⋅12x = 2-⋅10 ⋅24 = 120.](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR7x.gif)
Wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną obliczamy porównując dwa wzory na pole trójkąta.
![1 120 120 = P = --⋅c ⋅h = 1 3h ⇒ h = ---. 2 13](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR8x.gif)
Sposób II
Oznaczmy przez i
długości przyprostokątnych, a przez
długość przeciwprostokątnej trójkąta.
Z podanego tangensa mamy
![a 5 5 --= tg α = --- ⇒ a = ---b. b 12 1 2](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR12x.gif)
Z podanego obwodu mamy
![5-- 17- 17- 60 = a+ b+ c = 12b + b + c = 12b + c ⇒ c = 60 − 12b.](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR13x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.
![2 2 2 a( + b) = c ( ) 5 2 2 17 2 --b + b = 60− ---b 12 12 -25- 2 2 289- 2 1 44b + b = 36 00− 170b + 144 b 120 5 3 0 = ---b 2 − 17 0b+ 3600 = -b2 − 170b + 360 0 / ⋅-- 144 6 5 0 = 1b2 − 102b + 21 60. 2](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR14x.gif)
Rozwiązujemy teraz otrzymane równanie kwadratowe.
![2 2 Δ = 102 − 2⋅ 2160 = 60 84 = 78 b = 102 − 7 8 = 24 lub b = 10 2+ 78 = 180.](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR15x.gif)
Drugie rozwiązanie odpada ze względu na obwód równy 60, więc . Stąd
i
. Pole trójkąta jest więc równe
![1 1 P = -ab = --⋅10⋅ 24 = 120 . 2 2](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR19x.gif)
Wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną obliczamy porównując dwa wzory na pole trójkąta.
![1 120 120 = P = --⋅c ⋅h = 1 3h ⇒ h = ---. 2 13](https://img.zadania.info/zad/1021818/HzadR20x.gif)
Odpowiedź: ,