/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Różne

Zadanie nr 3664731

Korzystając z danych przedstawionych na rysunku oblicz wartość wyrażenia

3 3 2 3 a-+--b-+--a-c−--(a+-c)--. a3 − b3 + 3a2b − c3

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym wyliczymy długości odcinków a,b,c w zależności od jednego z nich. Żeby nie mieć ułamków, wygodnie jest wyliczyć wszystkie długości w zależności od najkrótszego odcinka, czyli od a . Z rysunku odczytujemy

a- ∘ 1- c = sin3 0 = 2 ⇒ c = 2a b √ -- √ -- --= ctg 30∘ = 3 ⇒ b = 3a. a

Podstawiamy teraz w podanym wyrażeniu wyliczone wyżej wartości.

a3 + b3 + a2c− (a + c)3 a3 + (√ 3a)3 + a2 ⋅2a − (a + 2a )3 ------------------------= ------√-------------√------------= a3 − b3 + 3a2b − c3 a3 − ( 3a)3 + 3a2 ⋅ 3a − (2a)3 a3(1 + 3√ 3-+ 2 − 27) 3√ 3-− 24 = --------√------√--------= ----------. a3(1 − 3 3 + 3 3 − 8) − 7

 
Odpowiedź: 24−-3√-3 7

Wersja PDF