Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM
Zaloguj się

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5388103

Bok AB trójkąta ABC jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. Bok BC jest o 2 cm krótszy od boku AB oraz |AC | = 8 cm . Oblicz pole trójkąta ABC oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy najpierw, że kąt ACB jest oparty na średnicy okręgu, więc ∡ACB = 90∘ i trójkąt ABC jest prostokątny. Jeżeli oznaczymy BC = a , to wiemy, że AB = a + 2 i twierdzenie Pitagorasa prowadzi do równania

AC 2 + BC 2 = AB 2 2 2 2 64+ a = (a + 2) = a + 4a + 4 60 = 4a ⇒ a = 15.

Stąd BC = a + 2 = 1 7 . Pole trójkąta jest równe

1- 2 P = 2AC ⋅BC = 4a = 60 cm .

Promień okręgu wpisanego obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na pole

P = pr,

gdzie

AC + BC + AB 8 + a + a + 2 p = ---------------- = ------------- = 5+ a = 20 2 2

jest połową obwodu trójkąta. Mamy zatem

P 60 r = p-= 20-= 3 cm .

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru

AC--+--BC-−-AB-- r = 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. W naszej sytuacji mamy

8+--15−--17- 6- r = 2 = 2 = 3 cm .

 
Odpowiedź: P = 60 cm 2 , r = 3 cm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!