/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Różne

Zadanie nr 7961968

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz długości boków oraz miary kątów trójkąta prostokątnego ABC , jeżeli √ -- a = 2− 2 i √ -- √ -- b = 2 3 − 6 .

PIC

Rozwiązanie

Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy

∘ ------- ∘ -----√---------√-----√----- c = a2 + b2 = (2 − 2)2 + (2 3 − 6)2 = ∘ -----√----------------√------- ∘ -------√--- ∘ -----√--- = 4− 4 2+ 2+ 12− 12 2 + 6 = 24− 16 2 = 2 6 − 4 2.

Nie jest to niezbędne, ale jeżeli ktoś ma dobre oko, to może dostrzec, że pod pierwiastkiem mamy kwadrat różnicy

∘ --------- ∘ ------------- ∘ ----------- √ -- √ -- √ --2 √ -- 2 6− 4 2 = 2 4− 4 2+ 2 = 2 (2− 2) = 4− 2 2.

Obliczmy teraz sin α .

∘ ----------- √ -- √ --2 sin α = a= -∘-2−----2---= -∘(2-−---2)--= c 2 6− 4√ 2 2 6 − 4 √ 2 ∘ ------√------ 1 4 − 4 2+ 2 1 = -- --------√---- = --. 2 6 − 4 2 2

Zatem ∘ α = 3 0 i ∘ ∘ ∘ β = 90 − 30 = 60 .  
Odpowiedź: ∘ -----√--- √ -- c = 2 6− 4 2 = 4 − 2 2,α = 30∘,β = 60∘

Wersja PDF