/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Różne

Zadanie nr 9521042

Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 72 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy 43 . Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a i b długości przyprostokątnych, a przez c długość przeciwprostokątnej trójkąta.

PIC

Z podanego tangensa mamy

a-= tg α = 4- ⇒ a = 4-b. b 3 3

Z podanego obwodu mamy

4 7 7 72 = a + b + c = -b+ b+ c = -b + c ⇒ c = 72− -b . 3 3 3

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa.

a2 + b2 = c2 ( ) ( ) 4 2 2 7 2 3b + b = 72− 3b 1-6b2 + b2 = 5184 − 1008b + 49b2 9 3 9 24 2 10 08 8 2 1008 3 0 = --b − -----b + 5184 = -b − ----b + 51 84 / ⋅-- 92 3 3 3 8 0 = b − 1 26b+ 1944.

Rozwiązujemy teraz otrzymane równanie kwadratowe.

2 2 Δ = 12 6 − 4 ⋅194 4 = 8100 = 90 126-−-90- 126+--90- b = 2 = 18 lub b = 2 = 1 08.

Drugie rozwiązanie odpada ze względu na obwód równy 72, więc b = 18 . Stąd a = 4b = 24 3 i c = 72− a− b = 30 . Pole trójkąta jest więc równe

1 1 P = 2ab = 2-⋅24⋅ 18 = 216 .

Wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną obliczamy porównując dwa wzory na pole trójkąta.

1 216 72 216 = P = -⋅ c⋅h = 1 5h ⇒ h = ----= --. 2 15 5

 
Odpowiedź: 2 P = 216 cm , 72 h = 5 cm

Wersja PDF