/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Różne

Zadanie nr 9616353

Bok AB trójkąta ABC jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. Bok BC jest o 4 cm krótszy od boku AB oraz |AC | = 8 cm . Oblicz pole trójkąta ABC oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy najpierw, że kąt ACB jest oparty na średnicy okręgu, więc ∡ACB = 90∘ i trójkąt ABC jest prostokątny. Jeżeli oznaczymy BC = a , to wiemy, że AB = a + 4 i twierdzenie Pitagorasa prowadzi do równania

AC 2 + BC 2 = AB 2 2 2 2 64 + a = (a + 4 ) = a + 8a + 16 48 = 8a ⇒ a = 6.

Stąd BC = a + 4 = 1 0 . Pole trójkąta jest równe

1- 2 P = 2AC ⋅BC = 4a = 24 cm .

Promień okręgu wpisanego obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na pole

P = pr,

gdzie

AC + BC + AB 8 + a + a + 4 p = ---------------- = ------------- = 6+ a = 12 2 2

jest połową obwodu trójkąta. Mamy zatem

P 24 r = p-= 12-= 2 cm .

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru

AC--+--BC-−-AB-- r = 2

na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. W naszej sytuacji mamy

8-+-6-−-10- 4- r = 2 = 2 = 2 cm .

 
Odpowiedź: P = 24 cm 2 , r = 2 cm

Wersja PDF