Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, 3 literki, 3418702

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Z parametrem

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem/3 literki

Zadanie nr 3418702

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej $2 f (x) = ax + bx + c$ , przechodzi przez punkt $(2,− 6)$ oraz $f(− 2) = f (4) = 10$ . Oblicz odległość wierzchołka tej paraboli od początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że miejscami zerowymi funkcji $g(x) = f (x)− 10$ są liczby $− 2$ i 4, więc ma ona wzór postaci

g(x ) = a(x + 2)(x − 4).

Zatem

f(x) = a(x + 2 )(x− 4)+ 10.

Współczynnik $a$ obliczamy podstawiając współrzędne podanego punktu na wykresie.

− 6 = a ⋅4⋅(− 2 )+ 10 = − 8a+ 10 ⇒ a = 2 .

Z podanej informacji $f (− 2) = f(4)$ wiemy, że osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta $−2+4 x = --2--= 1$ , czyli taka jest pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli. Obliczmy jeszcze drugą współrzędną wierzchołka

f(1) = 2 ⋅3 ⋅(− 3)+ 10 = − 18 + 10 = −8 .

Wierzchołek ma więc współrzędne $(1,− 8)$ i jego odległość od początku układu współrzędnych jest równa

∘ --------------------- √ ------- √ --- (1 − 0)2 + (− 8 − 0)2 = 1 + 64 = 65

Sposób II

Z podanej informacji $f(− 2) = f(4)$ wiemy, że osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta $−2+4 x = --2--= 1$ , czyli taka jest pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli. Wzór funkcji $f$ możemy więc zapisać w postaci kanonicznej

f (x) = a(x − 1)2 + q,

gdzie $q$ jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli. Współczynniki $a$ i $q$ obliczamy podstawiając współrzędne punktów $(2,− 6)$ oraz $(− 2,10 )$ .

{ − 6 = a + q 10 = 9a + q

Jeżeli odejmiemy od drugiego równania pierwsze, to mamy $8a = 16$ , czyli $a = 2$ . Stąd $q = − 6 − a = − 8$ i wierzchołek paraboli ma współrzędne $(1,− 8)$ . Jego odległość od początku układu współrzędnych obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Na koniec wykres dla ciekawskich.

Odpowiedź: $√ --- 65$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Dodaj komentarz

Legalni bukmacherzy