/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Z parametrem/3 literki

Zadanie nr 4765611

Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x ) = ax2 + bx + c . Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz f (−6 ) = f(0) = 32 . Oblicz wartość współczynnika a .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że liczby x = − 6 i x = 0 są miejscami zerowymi funkcji 3 g(x) = f (x)− 2 . To oznacza, że funkcja g ma postać

g(x ) = ax(x + 6),

czyli

f(x) = g(x)+ 3-= ax(x + 6) + 3-. 2 2

Wiemy ponadto, że funkcja ta przyjmuje wartość największą, więc a < 0 (ramiona paraboli muszą być skierowane w dół). W takiej sytuacji funkcja f przyjmuje wartość największą dokładnie w środku między pierwiastkami funkcji g , czyli dla

0 − 6 x = --2---= − 3.

Mamy zatem

3 3 6 = f(− 3) = a⋅(− 3) ⋅3+ --= − 9a+ -- 2 2 9a = 3− 6 = − 9- ⇒ a = − 1-. 2 2 2

Sposób II

Jeżeli parabola będąca wykresem funkcji f ma przyjmować wartość największą, to jej ramiona muszą być skierowane w dół. Znamy ponadto dwa punkty, w których funkcja ta przyjmuje tę samą wartość, więc możemy obliczyć pierwszą współrzędną jej wierzchołka

x = −-6+--0 = − 3. w 2

Funkcja f ma więc postać kanoniczną

f (x) = a(x + 3)2 + 6.

Współczynnik a obliczamy podstawiając współrzędne punktu ( ) 0, 3 2 .

3-= f (0) = a(x + 3)2 + 6 = a ⋅9 + 6 2 9 1 − --= 9a ⇒ a = − --. 2 2

Sposób III

Podstawiamy we wzorze funkcji f współrzędne punktów ( ) − 6, 3 2 i ( ) 0, 3 2 .

3-= f(0) = c 2 3 3 --= f(− 6) = 36a − 6b + -- ⇒ b = 6a . 2 2

Funkcja f ma więc postać

2 3- f(x) = ax + 6ax + 2 .

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej jej wykresem jest więc równa

−b-- −-6a- xw = 2a = 2a = − 3.

Mamy więc ponadto

3 6 = f(− 3) = 9a − 18a + -- 2 9a = − 9- ⇒ a = − 1. 2 2

Na koniec wykres funkcji y = f (x) .

PIC

 
Odpowiedź: a = − 12

Wersja PDF