/Szkoła podstawowa/Zadania testowe/Geometria/Czworokąty

Zadanie nr 1009313

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W czworokącie ABCD przekątne przecinają się w punkcie E oraz |BE | = |CE | . Przekątna BD dzieli czworokąt ABCD na trójkąt równoboczny i trójkąt równoramienny (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Kąt ABC ma miarę 100∘ .PF
Kąt AEB ma miarę 70 ∘ . PF

Rozwiązanie

Z rysunku widać, że równoboczny musi być trójkąt ABD , więc

∡ABD = 6 0∘

i DA = AB = BD . Wiemy też, że trójkąt DBC jest równoramienny, więc

BC = BD = AB .

Jeżeli więc oznaczymy ∡BAC = α , to też ∡BCA = α .

ZINFO-FIGURE

Wiemy też, że trójkąt BEC jest równoramienny, więc

∡CBE = ∡BCE = α.

Stąd

∡BEC = 180∘ − 2α ∡BEA = 180∘ − ∡BEC = 180∘ − (180∘ − 2α ) = 2α.

Suma kątów w trójkącie ABE jest równa ∘ 180 , więc

180∘ = 60 ∘ + α + 2α ∘ ∘ 120 = 3α ⇒ α = 40 .

W takim razie

∡AEB = 2α = 80∘ ∘ ∘ ∡ABC = 60 + α = 100 .

 
Odpowiedź: P, F

Wersja PDF