Zadanie nr 1009313
W czworokącie przekątne przecinają się w punkcie
oraz
. Przekątna
dzieli czworokąt
na trójkąt równoboczny i trójkąt równoramienny (zobacz rysunek).
Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.
Kąt ![]() ![]() | P | F |
Kąt ![]() ![]() | P | F |
Rozwiązanie
Z rysunku widać, że równoboczny musi być trójkąt , więc
![∡ABD = 6 0∘](https://img.zadania.info/zad/1009313/HzadR1x.png)
i . Wiemy też, że trójkąt
jest równoramienny, więc
![BC = BD = AB .](https://img.zadania.info/zad/1009313/HzadR4x.png)
Jeżeli więc oznaczymy , to też
.
Wiemy też, że trójkąt jest równoramienny, więc
![∡CBE = ∡BCE = α.](https://img.zadania.info/zad/1009313/HzadR9x.png)
Stąd
![∡BEC = 180∘ − 2α ∡BEA = 180∘ − ∡BEC = 180∘ − (180∘ − 2α ) = 2α.](https://img.zadania.info/zad/1009313/HzadR10x.png)
Suma kątów w trójkącie jest równa
, więc
![180∘ = 60 ∘ + α + 2α ∘ ∘ 120 = 3α ⇒ α = 40 .](https://img.zadania.info/zad/1009313/HzadR13x.png)
W takim razie
![∡AEB = 2α = 80∘ ∘ ∘ ∡ABC = 60 + α = 100 .](https://img.zadania.info/zad/1009313/HzadR14x.png)
Odpowiedź: P, F