/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 1218894

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na okręgu o promieniu 3 opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 12. Oblicz obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny.

PIC

Korzystamy ze wzoru

r = a+--b−-c- 2

na promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c . Jeżeli oznaczymy b = 12 , to mamy

3 = r = a-+-12-−-c ⇒ 6 = a− c+ 1 2 ⇒ c− a = 6. 2

Ponadto, na mocy twierdzenia Pitagorasa

14 4 = b2 = c2 − a2 = (c − a)(c+ a) = 6(c + a).

Mamy zatem

{ c − a = 6 c + a = 24 .

Jeżeli teraz odejmiemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić c ), to mamy

2a = 1 8 ⇒ a = 9.

Stąd c = a + 6 = 15 i obwód trójkąta ABC jest równy

a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36.

 
Odpowiedź: 36

Wersja PDF