Zadanie nr 1460203

Wysokość trójkąta równobocznego jest o 3 cm krótsza od długości jego boku. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

Z założenia mamy a = h+ 3 .

Sposób I

Z zależności między wysokością, a bokiem trójkąta równobocznego otrzymujemy

a√ 3- h = ----- 2 √ -- (h + 3) 3 h = -----2----- √ -- √ -- 2h = h 3 + 3 3 h (2− √ 3) = 3√ 3- √ -- √ -- √ -- 3 3 3 3 (2+ 3) √ -- √ -- h = ----√---= -----√--------√----= 3 3(2+ 3). 2 − 3 (2− 3)(2 + 3)

Promień okręgu opisanego to 2 3 wysokości, więc

2 2 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- R = -h = --⋅3 3(2 + 3) = 2 3(2+ 3) = 4 3 + 6. 3 3

Sposób II

Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy

( ) 2 a- 2 2 h + 2 = a / ⋅4 2 2 2 4h + a = 4a 4h 2 = 3a2 = 3(h + 3)2 = 3 (h2 + 6h+ 9) 2 h − 18h − 2 7 = 0 Δ = 182 + 4 ⋅27 = 432 = 144 ⋅3 √ -- √ -- 18-−-12--3- √ -- 18+--12--3- √ -- h = 2 = 9− 6 3 lub h = 2 = 9 + 6 3

Pierwsza liczba jest ujemna, więc √ -- h = 9 + 6 3 .

Promień okręgu opisanego to wysokości, więc

√ -- √ -- R = 2h = 2(9 + 6 3) = 6 + 4 3. 3 3

Odpowiedź: √ -- (4 3 + 6) cm