Zadanie nr 2091404

Wykaż, że jeżeli i są kątami trójkąta oraz 2 2 2 sin α = sin β + sin (α + β ) to trójkąt ten jest prostokątny.

Rozwiązanie

Narysujmy sobie taki trójkąt.

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Zauważmy, że

sin ∡C = sin(180∘ − (α + β )) = sin (α+ β),

czyli na mocy twierdzenia sinusów mamy

--a-- -a- sin α = 2R ⇒ sinα = 2R b b -----= 2R ⇒ sin β = --- sin β 2R ---c---= 2R ⇒ sin ∡C = sin(α + β) = -c-. sin ∡C 2R

Zatem podany w treści warunek możemy zapisać w postaci

2 2 2 -a-- = -b-- + -c-- 4R 2 4R 2 4R 2 a2 = b2 + c2.

Zatem trójkąt jest prostokątny.

Sposób II

Tym razem pozostaniemy w krainie trygonometrii. Na mocy wzoru

2 2 cos2x = 1− 2sin x ⇒ 2 sin x = 1 − co s2x

łatwo się pozbyć kwadratów w wyjściowej równości.

2 sin 2α = 2sin2β + 2sin2(α + β) 2 1 − cos 2α = 1 − co s2β + 2 sin (α+ β) cos2β − cos2α = 2sin2(α + β ) 2 − 2 sin (α+ β)sin(β − α ) = 2sin (α + β ) 2 sin (α+ β) sin(α − β) = 2 sin 2(α + β).

Skorzystaliśmy oczywiście ze wzoru na różnicę cosinusów. Ponieważ sin (α+ β) ⁄= 0 daje to nam

sin(α − β ) = sin (α+ β) sin(α + β )− sin(α − β ) = 0 2sin βco sα = 0.

Tym razem skorzystaliśmy ze wzoru na różnicę sinusów. Ponieważ sin β ⁄= 0 daje to nam

cos α = 0 ⇒ α = 90∘.