/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 2177364

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego, którego obwód wynosi 70, a pole 210.

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy a ,b – przyprostokątne, a c – przeciwprostokątna, to mamy układ

( |{ a+ b+ c = 70 ab = 2 ⋅210 |( 2 2 2 a + b = c .

Pierwsza równość to warunek z obwodem, druga z polem, a trzecia to twierdzenie Pitagorasa. Przekształcimy teraz pierwszą równość, korzystając z dwóch pozostałych.

a + b = 7 0− c /()2 2 2 2 2 a + 2ab + b = 70 − 140c+ c 2 2 2 c + 4 ⋅210 = 70 − 1 40c+ c 14 0c = 702 − 4⋅ 210 c = 1 40⋅3 5− 140⋅ 6 c = 3 5− 6 = 29.

Pierwsze dwa równania układu przyjmują więc postać

{ a+ b = 41 ab = 420.

Można ten układ rozwiązać tradycyjnie, lub skorzystać ze wzorów Viéte’a – liczby a,b są pierwiastkami równania

x 2 − 4 1x+ 420 = 0 Δ = 168 1− 1680 = 1 x = 20, ∨ x = 21.

Zatem przyprostokątne mają długości 20 i 21.  
Odpowiedź: 20,21,29

Wersja PDF