/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 2718204

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkąt równoramienny ABC (|AC | = |BC | ) wpisano okrąg o środku S . Punkty wspólne okręgu i trójkąta oznaczono literami M , N i P . Uzasadnij, że trójkąty ASM i PBS są przystające.

PIC

Rozwiązanie

Boki AB i AC są styczne do okręgu wpisanego w punktach P i M , więc trójkąty ASM i P BS są prostokątne: ∡AMS = ∡BP S = 90∘ .

PIC

Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC jest punkt wspólny dwusiecznych jego kątów, więc proste AS i BS są dwusiecznymi kątów BAC i ABC . Jeżeli więc oznaczymy ∡BAC = ∡ABC = 2α (kąty te są równe, bo z założenia trójkąt ABC jest równoramienny), to

1 1 ∡MAS = --∡BAC = α = --∡ABC = ∡P BS . 2 2

To oznacza, że trójkąty ASM i PBS mają takie same kąty, czyli są podobne. Ponadto SP = SM = r , gdzie przez r oznaczyliśmy promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC . To oznacza, że trójkąty ASM i P BS są przystające.

Wersja PDF