Zadanie nr 2833564

W trójkącie równoramiennym ABC ( |AC | = |BC | ) miara kąta ∡ACB jest równa . Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość . Oblicz długości boków trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Sposób I

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość podstawy trójkąta przez (, a nie , żeby nie mieć ułamków).

Aby wykorzystać podaną informację o promieniu okręgu wpisanego w trójkąt ABC , będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole P = 1(a + b + c)r 2 . Aby to zrobić musimy wyliczyć długości boków trójkąta (przy okazji wyliczymy też jego wysokość).

h -- = ctg α ⇒ h = a ctgα a -a--= sinα ⇒ BC = --a--. BC sin α

Zatem ze wspomnianego wzoru na pole trójkąta, mamy

( ) ( ) P = 1- 2a + -2a-- r = a + --a-- r 2 sin α sin α

Z drugiej strony

1 P = -(2a) ⋅h = a2 ctgα. 2

Mamy zatem

( ) 2 --a-- a ctgα = a + sin α r ( 1 ) sin α a = 1 + ----- r⋅----- ( sin α ) co sα 1 a = tg α + ----- r cos α

Zatem boki trójkąta wynoszą

( ) ( ) --1-- -a--- --1-- ----1----- 2a = 2r tg α + co sα ,sin α = cosα + sin α cosα r

Sposób II

Podobnie jak w poprzednim sposobie zauważamy, że a BC = sin-α , ale tym razem w inny sposób wyliczymy . Zauważmy, że kąt ostry przy podstawie trójkąta ABC jest równy 90∘ − α , zatem jeżeli połączymy wierzchołek ze środkiem okręgu wpisanego (jest fragment dwusiecznej kąta ) to otrzymamy trójkąt prostokątny z kątem ostrym ∘ α 45 − 2 i przyprostokątnych długości i . Mamy więc