/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 3024938

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC | = |BC | i |AB | = 10 , poprowadzono dwusieczną kąta BAC przecinająca bok BC w punkcie D . Wówczas okazało się, że |AD | = |AB | = |CD | .

  • Wyznacz miary kątów trójkąta ABC .
  • Oblicz długość ramienia AC .
  • Oblicz co s∡CAB .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

  • Jeżeli oznaczymy kąt przy podstawie trójkąta ABC przez 2α , to ponieważ trójkąt ADC jest równoramienny, to ∡DCA = ∡DAC = α . Zatem (z sumy kątów w trójkącie ABC )
    ∘ ∘ 2α + 2α + α = 180 ⇒ α = 36 .

     
    Odpowiedź: 36∘,72∘,72∘

  • Jeżeli oznaczymy szukaną długość przez x to z podobieństwa trójkątów ABC i BDA mamy
    AB-- BD-- AC = AB 10 x − 10 ---= ------- x 10 100 = x 2 − 1 0x 2 x − 10x − 100 = 0 Δ = 100+ 400 = 5 00 √ -- √ -- x = 1-0+--10--5 = 5 + 5 5. 2

     
    Odpowiedź: √ -- AC = 5 + 5 5

  • Jeżeli poprowadzimy wysokość CE to z trójkąta prostokątnego AEC mamy
    √ -- cos ∡CAB = AE--= ---5-√---= √--1----= --5-−-1-. AC 5+ 5 5 5+ 1 4

     
    Odpowiedź: √ - co s∡CAB = cos7 2∘ = --5−1 4

Wersja PDF