/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 3995690

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A ,C i E leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i M są środkami odcinków AC ,CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K ,L i M są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki KM i ML .

PIC

Zauważmy, że oba odcinki AB i CD tworzą z prostą AE kąt 60∘ , czyli są do siebie równoległe. Zatem na mocy twierdzenia Talesa, odcinek MK łączący środki odcinków AC i BD jest równoległy do AB i CD . Zatem ∘ ∡MKL = 6 0 .

Podobnie, patrząc na odcinki BC i DE , uzasadniamy, że odcinek ML jest równoległy do BC i DE . Zatem ∡MLK = 60∘ .

Skoro dwa kąty trójkąta MKL są równe 60∘ , to musi to być trójkąt równoboczny.

Wersja PDF