/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 5446397

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest równoboczny.

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt równoramienny.

PIC

Niech |AB | = 2a i ∡ACB = 2α . Na mocy twierdzenia sinusów mamy

2R = --AB--- = --2a-- ⇒ R = --a--. sin∡C sin 2α sin 2α

Sposób I

Z trójkąta prostokątnego ADC mamy

AD AD a ----= sinα ⇒ AC = -----= -----. AC sin α sin α

Promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABC obliczamy ze wzoru na pole P = pr , gdzie

AB + BC + AC a asin α+ a p = ----------------= a+ AC = a + -----= ----------. 2 sin α sin α

jest połową obwodu trójkąta. Mamy zatem

1 1-a-- --a- r = P-= 2AC--⋅BC--sin2α- = -2sinα-⋅sinα sin-2α = -----asin2-α-----. p a-sisninα+αa asisninα+αa 2(sinα + 1 )sinα

Mamy więc równanie

--a-- 2 2 = R-= ----sin-2α----= 2(sin-α+--1)sin-α / ⋅ sin--2α- r 2(sinasiαn+21α)sinα sin22 α 2 2 sin 2α = (sin α + 1) sin α.

Korzystamy teraz ze wzoru na sin 2x oraz z tego, że sin α ⁄= 0 i sin α ⁄= −1 .

2 2 4 sin α cos α = (sinα + 1) sin α / : sinα 4 sinα (1− sin2 α) = sin α+ 1 4 sinα (1− sin α)(1 + sinα ) = sin α + 1 / : (sinα + 1) 4 sinα (1− sin α) = 1 0 = 4sin2 α− 4sin α+ 1 1 0 = (2sin α− 1)2 ⇒ sin α = --. 2

Stąd ∘ α = 30 , czyli ∘ 2α = 60 , a to oznacza, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Sposób II

Tym razem promień okręgu wpisanego obliczymy z trójkąta ADS , gdzie S jest środkiem okręgu wpisanego. Zauważmy najpierw, że

1- 1- ∘ ∘ α- ∡DAS = 2∡DAC = 2(90 − α ) = 45 − 2 .

Mamy zatem

( ) SD--= tg∡DAS ⇒ r = SD = atg 45∘ − α- . AD 2

Przekształćmy trochę otrzymane wyrażenie na promień – korzystamy ze wzorów na sinus/cosinus różnicy.

( ) ( ∘ α) sin--45∘-−--α2-- sin-45∘co-s α2-−-sin-α2 co-s45∘ r = atg 45 − 2 = a⋅ cos(45 ∘ − α) = a ⋅co s45∘ cos α + sin α sin 45∘ = 2 2 ( 2 ) cos α2 − sin α2 (cos α2 − sin α2)(co s α2 − sin α2) co s α2 − sin α2 2 = a⋅ ----α------α-= a⋅ -----α------α------α-------α--= a ⋅----2-α------2 α = cos 2 + sin 2 (cos 2 + sin 2)(co s2 − sin 2) cos 2 − sin 2 1− 2sin α2 co s α2 1− sin α = a⋅ ----------------= a⋅ ---------. co sα cosα

Musimy więc rozwiązać równanie

R -a--- 2 = --= ---sin2α-- r a ⋅ 1−csoisnαα ------cosα------- 2 = sin2α (1− sin α) 4 sinα cos α(1− sin α) = cosα / : cos α 0 = 4sin2 α− 4sin α+ 1 = (2sin α− 1)2.

Stąd 1 sin α = 2 , czyli ∘ 2α = 6 0 , co oznacza, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Wersja PDF