/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 5747474

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym podstawa AB ma długość 12, a każde z ramion AC i BC ma długość równą 10. Punkt D jest środkiem ramienia BC (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz sinus kąta α , jaki środkowa AD tworzy z ramieniem AC trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość CE i rzut F punktu D na podstawę AB .

PIC

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CEB i obliczamy długość wysokości CE

∘ ----------- ∘ --------- √ --------- √ --- CE = CB 2 − BE 2 = 10 2 − 62 = 100 − 36 = 6 4 = 8.

Prosta DF jest równoległa do CE i przechodzi przez środek D odcinka CB , więc DF jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie CEB . W szczególności

EF = FB = 1EB = 3 2 1- DF = 2CE = 4.

Ponownie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa – tym razem w trójkącie AF D .

∘ ------------ ∘ ------- AD = AF 2 + DF 2 = 92 + 42 = √ 81-+-1-6 = √ 97.

Zauważmy teraz, że trójkąty ABD i ADC mają podstawy równej długości BD = DC oraz wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka A na te podstawy. To oznacza, że mają równe pola. Stąd

1 1 1 1 1 PADC = -PABC = -⋅ -AB ⋅CE = -⋅ --⋅12 ⋅8 = 24. 2 2 2 2 2

Teraz możemy już obliczyć interesujący nas sinus – korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.

1 1 √ --- 24 = PADC = --AD ⋅AC ⋅sinα = --⋅ 97 ⋅10 sin α 2 √ --- 2 -24--- 24--97- sin α = 5√ 97-= 4 85 .

 
Odpowiedź: 24√-97- 485

Wersja PDF