/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 6855560

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC , w którym ∡ACB ma miarę ∘ 120 . Ponadto wiadomo, że |BC | = 10 i √ -- |AB | = 10 7 (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC .

PIC

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy wysokość BD opuszczoną z wierzchołka B .

PIC

Trójkąt DCB jest połówką trójkąta równobocznego o boku BC = 10 , więc DC = 12BC = 5 i

√ -- BC---3- √ -- BD = 2 = 5 3.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABD mamy

∘ ------------ √ --------- √ ---- AD = AB 2 − BD 2 = 70 0− 75 = 625 = 25.

Stąd

AC = AD − DC = 25− 5 = 20.

Sposób II

Jeżeli oznaczymy x = AC , to na mocy twierdzenia cosinusów mamy

AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2AC ⋅ BC ⋅co s120∘ ( 1) 700 = x2 + 100− 20x ⋅ − -- = x2 + 10x + 100 2 0 = x 2 + 10x − 600 Δ = 100 + 2400 = 2500 = 5 02 − 10− 50 − 10 + 50 x = ----------< 0 lub x = ----------= 20. 2 2

Zatem AC = 20 .  
Odpowiedź: AC = 20

Wersja PDF