/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 7068067

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że w trójkącie równoramiennym wysokości poprowadzone do równych boków są równej długości.

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt.

PIC

Sposób I

Liczymy pole trójkąta ABC na dwa sposoby.

1-AC ⋅BD = PABC = 1BC ⋅AE 2 2 1- 1- 1- 2 AC ⋅BD = 2AC ⋅AE / :2AC BD = AE .

Sposób II

Zauważmy, że trójkąty ABE i BAD są oba prostokątne oraz mają równe kąty ostre ∡ABE = ∡BAD . Są więc podobne. Trójkąty te mają ponadto wspólna przeciwprostokątną AB , więc są przystające. To oznacza, że AE = BD .

Sposób III

Niech k będzie osią symetrii trójkąta i Sk niech oznacza symetrię osiową o osi k . Mamy zatem S (A ) = B k i S (B) = A k . Symetria osiowa zachowuje kąty, więc prosta AE , która przechodzi przez A i jest prostopadła do BC zostanie w tej symetrii przekształcona na prostą przechodzącą przez Sk(A ) = B i prostopadłą do prostej Sk(BC ) = AC , czyli na wysokość BD . To oznacza, że

S (AE ) = BD . k

W szczególności odcinki te mają równe długości.

Wersja PDF