/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 7282676

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkąt równoramienny ABC o podstawie długości |AB | = 14 i polu 168 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek A z punktem wspólnym okręgu i ramienia BC .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Z podanego pola obliczamy długość wysokości i ramienia trójkąta.

168 = 1-⋅14 ⋅CF ⇒ CF = 16-8 = 24 2∘ ----------- ∘ -------7- √ ---- BC = BF 2 + FC 2 = 72 + 242 = 6 25 = 25.

Zauważmy teraz, że BD = BF = 7 , bo są to odcinki stycznych do okręgu wpisanego poprowadzonych z punktu B . Możemy więc obliczyć długość odcinka AD stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD . Najpierw obliczamy cosα = cos∡B .

cos α = cos ∡B = BF--= -7. BC 25

Teraz piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD .

2 2 2 AD = AB + BD − 2AB ⋅BD cosα 7 ( 28 ) 97 AD 2 = 142 + 72 − 2⋅14 ⋅7 ⋅---= 72 4 + 1 − --- = 72 ⋅--- √ --- 25 25 25 7 97 AD = ------. 5

 
Odpowiedź: √ -- 7-597

Wersja PDF