/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 7590763

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AB | = |AC | i |BC | = 10 . Na boku AC wybrano punkt D w ten sposób, że |∡CBD | = |∡BAC | = α oraz |AD | = 6193 . Oblicz sin α .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Zauważmy, że trójkąty ABC i BCD mają dwa takie same kąty: α i ∡C . W takim razie są podobne i jeżeli oznaczymy CD = x to mamy

AC-- -BC- BC = DC 69- x-+--13-= 10- 10 x 2 69- x + 13 x = 10 0 / ⋅13 2 13x + 6 9x− 1300 = 0 Δ = 692 + 4 ⋅13⋅ 1300 = 72 361 = 26 92 x = −-69−--269-< 0 ∨ x = −6-9+--269-= 100. 26 26 13

Zatem

AC = AD + DC = 69-+ 1-00 = 1-69 = 13 . 13 13 13

Wartość sin α obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Aby obliczyć sin α dorysujmy wysokość AE trójkąta ABC . W trójkącie prostokątnym ABE mamy

α BE 5 sin --= ----= ---. 2 AB 13

Zatem

∘ ---------- ∘ -------- cos α-= 1− sin 2 α-= 1 − -25- = 12- 2 2 16 9 13 α α 5 1 2 12 0 sin α = 2sin --cos-- = 2 ⋅---⋅--- = ----. 2 2 13 1 3 16 9

Sposób II

Tym razem piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅AC cosα 10 0 = 169 + 169 − 2 ⋅169 cos α / : 2 16 9cos α = 119 119 cosα = ----. 169

Teraz obliczamy sin α (korzystamy z tego, że sin α > 0 dla α < π ).

∘ ---------- ∘ --------2 ∘ ----2------2- sin α = 1− cos2α = 1 − 11-9- = 169-−--119--= ∘ -------------------16-92 √ ----169-2 √ --------- (169 − 11 9)(169+ 119) 50 ⋅288 100 ⋅144 120 = --------------------------= ----------= -----------= ----. 169 169 1 69 169

 
Odpowiedź: sin α = 120- 169

Wersja PDF