/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 8237736

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M ⁄= A i M ⁄= C ), a na ramieniu BC wybrano punkt N . Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T . Wykaż, że jeżeli 1 |ST | = 2|AB | , to |AM | = |CN | .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy, że trójkąt ASM jest podobny do trójkąta AEC w skali AAMC-- , więc

AS = AM---⋅AE . AC

Podobnie, z podobieństwa trójkątów BT N i BEC mamy

( ) BT = BN--⋅BE = BC-−--CN--⋅BE = 1 − CN-- ⋅AE . BC BC AC

Stąd

( ) AE = 1-AB = AS + BT = AM---⋅AE + 1− CN-- ⋅AE / : AE 2 AC AC AM CN 1 = -----+ 1− ---- ⇒ AM = CN . AC AC
Wersja PDF