Zadanie nr 9237079

W trójkącie prostokątnym dany jest kąt ostry o mierze i pole tego trójkąta. Obliczyć długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.

Rozwiązanie

Zauważmy, że w każdym trójkącie prostokątnym długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego to dokładnie połowa przeciwprostokątnej. Aby to zobaczyć dorysujmy sobie okrąg opisany na trójkącie – jego środek to środek przeciwprostokątnej, a promień to połowa jej długości.

Musimy zatem policzyć długość przeciwprostokątnej.

Sposób I

Plan jest następujący – korzystając z podanego kąta wyliczymy długości przyprostokątnych i w zależności od , a potem z podanego pola wyliczymy .

a --= sin α ⇒ a = c sin α c b- c = co sα ⇒ b = ccos α.

Zatem

P = 1-ab = 1-c2 sin α cosα 2 2 2 ---2P----- c = sin α cosα ∘ ----------- c = ----2P----. sinα cos α

Szukana długość środkowej to połowa tej wartości.

Sposób II

Tym razem dokładniej przyjrzyjmy się trójkątowi równoramiennemu BEC . Ma on wspólną podstawę z trójkątem ABC a jego wysokość opuszczona na bok ma długość równą 12AC . Zatem pole trójkąta BEC jest równe 12P . Ponadto ∡BEC = 2∡BAC = 2α (kąty wpisany i środkowy oparte na tym samym łuku). Mamy zatem równość