/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 9309271

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie a : b : c = 4 : 5 : 6 . Wykaż, że w tym trójkącie γ = 2α .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Ponieważ interesują nas tylko kąty trójkąta, a nie jego rozmiar, możemy przyjąć, że boki trójkąta mają długości 4,5,6 (jak ktoś nie wierzy, że tak można, to może sobie przyjąć 4x,5x ,6x i zobaczyć, że x się później skróci). Z twierdznia cosinusów wyliczymy cos γ i c osα . Potem wystarczy zauważyć, że

2 co sγ = cos2α = 2co s α − 1.

Najpierw liczymy cos γ .

2 2 2 AB = BC + AC − 2BC ⋅AC cos γ 36 = 16 + 2 5− 40cos γ co sγ = 5--= 1. 40 8

Teraz liczymy cosα .

2 2 2 BC = AB + AC − 2AB ⋅AC cos α 16 = 36 + 2 5− 6 0cos α 45 3 co sα = ---= --. 60 4

Zatem

9 1 2 cos2α − 1 = --− 1 = --= cos γ, 8 8

czyli γ = 2α .

Wersja PDF