Zadanie nr 9429829

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym BC = 30 , AC = 40 i AB = 50 . Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku w punkcie . Oblicz długość odcinka .

Rozwiązanie

Sposób I

Poprowadźmy wysokość danego trójkąta.

Długość odcinka obliczymy z trójkąta prostokątnego CMP . Zanim jednak zajmiemy się tym trójkątem, popatrzmy na trójkąt prostokątny CBP . Ponieważ jest on podobny do wyjściowego trójkąta (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt ), łatwo można wyliczyć długości jego boków.

BC = 3 0 BP-- BC-- 302- BC = BA ⇒ BP = 50 = 18 P C AC 3 0⋅40 ----= ---- ⇒ PC = -------= 24. BC BA 50

Skoro znamy długość , to długość odcinka możemy obliczyć jako różnicę długości i . Do tego jednak musimy znać długość BM = BO = BC − OC . Długość to po prostu długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC , którą możemy obliczyć ze wzoru na pole: P = pr , gdzie jest połową obwodu trójkąta.

P- 2P- ----30⋅-40--- r = p = 2p = 3 0+ 40+ 50 = 10 .

Mamy więc

BM = BO = BC − OC = 30− 10 = 20 PM = BM − BP = 2 0− 1 8 = 2.

Pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie CMP .

∘ ------------ √ -------- √ ---- √ ---- CM = P C2 + PM 2 = 576 + 4 = 580 = 2 14 5.

Sposób II

Długość odcinka możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACM . Zanim to jednak zrobimy, musimy wyliczyć cos∡A i .

cos ∡A = AC--= 40-= 4. AB 50 5

Aby obliczyć długość odcinka , zaznaczmy pozostałe punkty styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta i oznaczmy AM = AN = x , CN = CO = y i BM = BO = z . Mamy wtedy układ równań.