Zadanie nr 9854569

Dwa boki trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu są odpowiednio równe 12 R i √ -- R 3 . Oblicz długość trzeciego boku.

Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od rysunku.

Robiąc go można zauważyć, że możliwe są dwie konﬁguracje: gdy narysujemy już cięciwę długości √ -- R 3 to cięciwę długości R- 2 możemy narysować na dwa sposoby – po dwóch stronach pierwszej z cięciw. Przypadki te różnią się tym, że w jednym z nich zaznaczony kąt jest ostry, a w drugim rozwarty. Jeżeli byśmy nie zauważyli drugiego przypadku, to nic by się nie stało, bo i tak wyjdzie on nam w rachunkach.

Sposób I

Długość trzeciego boku trójkąta obliczymy z twierdzenia sinusów, ale zanim to zrobimy, obliczmy funkcje trygonometryczne pozostałych dwóch kątów trójkąta. Stosujemy twierdzenie sinusów. Stosujemy twierdzenie sinusów.

AC R √ 3- √ 3- ----- = 2R ⇒ sin β = ----- = ---- sin β 2R 2 AB R- 1 ----- = 2R ⇒ sinγ = -2- = -. sin γ 2R 4

Z jedynki trygonometrycznej obliczymy teraz cosinusy tych kątów. Zanim to jednak zrobimy, zauważmy, że kąt leży na przeciwko dłuższego boku niż kąt , więc kąt na pewno jest ostry, a kąt może być ostry lub rozwarty. Mamy zatem

∘ ---------- ∘ ------- √ --- cosγ = 1 − sin2γ = 1 − 1--= --1-5 ∘ -16--- 4 ∘ -- ∘ ---------- 3 1 1 cosβ = ± 1 − sin2β = ± 1 − --= ± --= ± -. 4 4 2

Wybór znaku przy cosβ geometrycznie odpowiada dwóm możliwym konﬁguracjom, które zauważyliśmy na początku rozwiązania. Możemy teraz obliczyć sin α – korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

∘ sinα = sin (180 − (β + γ )) = sin (β+ γ) = sin βco sγ + sin γco sβ = 3√ 5- 1 ± 1 + 3√ 5- = -----± --= -----------. 8 8 8

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów.

√ -- √ -- -x--- ±-1+--3--5- ±-1+--3--5- sin α = 2R ⇒ x = 2R ⋅ sin α = 2R ⋅ 8 = 4 R .

Sposób II

Pomysł jest taki, żeby obliczyć szukaną długość trzeciego boku z twierdzenia cosinusów. Aby to zrobić, potrzebujemy znać cos α . Dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kątów i . To pozwala obliczyć cos α – korzystamy ze wzoru na cosinus sumy.

cosα = cos(180 ∘ − (β + γ )) = − co s(β+ γ) = − cosβ cos γ+ sin β sinγ = √ --- √ -- √ -- √ -- = ± --15-+ --3-= --3-(1±----5). 8 8 8

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅AC ⋅cosα 2 √ -- √ -- 2 R-- 2 R- √ -- --3(1-±---5)- x = 4 + 3R − 2 ⋅2 ⋅ 3R ⋅ 8 2R 2 + 2 4R2 − 3R 2(1± √ 5) x 2 = --------------------------- ∘ ----------8 √ -- x = R 23-±-3--5-. 8

Sposób III

Jak poprzednio chcemy obliczyć cosα . Stosujemy twierdzenie sinusów (bo znamy promień okręgu opisanego).

Liczymy

x x 2R = ----- ⇒ sinα = ---. sin α 2R

Teraz obliczymy co sα z jedynki trygonometrycznej – będziemy mieli problem z wyborem znaku, ale to dokładnie odpowiada dwóm możliwym konﬁguracjom.

∘ ---------- ∘ --------- √ --------- 2 -x2- --4R2-−-x2- cosα = ± 1 − sin α = ± 1 − 4R 2 = ± 2R .

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅AC ⋅cos α 2 √ -- √ ---2----2 x 2 = R--+ 3R2 ± R 2 3⋅ --4R--−-x-- / ⋅4 4 √ --∘ -------2R 4x 2 = 13R 2 ± 2R 3 4R 2 − x 2 √ --∘ --------- 4x 2 − 13R 2 = ± 2R 3 4R 2 − x 2 /()2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 1 6x − 104R x + 169R = 12R (4R − x ) = 48R − 1 2x R 1 6x4 − 92R 2x2 + 121R 4 = 0.

Podstawiamy t = x 2 i dzielimy równanie stronami przez 4.

4t2 − 2 3R2t + 121-R4 = 0 4 Δ = 5 29R 4 − 48 4R4 = 4 5R4 √ -- √ -- 23-−-3--5- 2 2-3+--3--5 2 t1 = 8 R , t2 = 8 R .

Zatem

∘ ---------- ∘ ---------- √ -- √ -- x = R 23-−-3--5- ∨ x = R 23-+-3--5- 8 8

Sposób IV

Tym razem, pomimo podobnego schematu, najpierw obliczymy cosα w zależności od , a dopiero potem . Podobnie jak poprzednio piszemy twierdzenie cosinusów

√ -- 4x 2 = R2 + 12R 2 − 4R 2 3⋅co sα,

ale tym razem podstawiamy za x = 2R sin α .

√ -- 16R 2sin2α = R2 + 12R 2 − 4R 2 3⋅co sα 2 √ -- 16(1 − cos α) = 13 − 4 3 cosα .

Podstawiamy t = co sα .

2 √ -- 16− 16t√=--13 − 4 3t 16t2 − 4 3t− 3 = 0 / : 4 √ -- 4t2 − 3t − 3-= 0 4 Δ = 3 + 12 = 15 √ -- √ --- √ -- √ --- --3−----15- --3+----15- t1 = 8 , t2 = 8

Wracając do twierdzenia cosinusów otrzymujemy

√ -- √ --- 2 2 2√ -- 2 2√ -- --3-±---15- 4x = 13R − 4R 3 ⋅cosα = 13R − 4R 3 ⋅ 8 = ( √ -) √ -- = R2 1 3− 3±--3--5- = R 2 ⋅ 23±-3--5- 2 2 ∘ ----------- 23± 3√ 5 x =R ---------- 8

Sposób V

Tym razem również będziemy łączyć ze sobą twierdzenia sinusów i cosinusów, ale skoncentrujemy się na kącie .

Jak popatrzymy na II sposób rozwiązania, to tam najważniejszym problem było to, że w wyrażeniu na sin α występował . Jeżeli zmienimy kąt to pozbędziemy się tego problemu (kosztem skomplikowania twierdzenia cosinusów). Tym razem mamy

√ -- √ -- R---3 --3- 2R = sin β ⇒ sin β = 2 .

Tu jest delikatny moment, bo z powyższej równości nie wynika, że β = 60 ∘ , może być też ∘ β = 120 – to są dokładnie te dwa przypadki z początku rozwiązania. Tak czy inaczej