/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 1189305

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przekątna AC czworokąta ABCD tworzy z bokiem BC kąt ∘ 60 , a z bokiem AB kąt β taki, że sin β = 34 . Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC ma długość 5, a bok AD długość |AD | = 7 . Wiedząc, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg oblicz długości pozostałych boków czworokąta oraz długość przekątnej AC .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Długości boków: AB i BC obliczamy pisząc twierdzenie sinusów w trójkącie ABC .

-- 10 = 2R = --AB--- = AB√-- ⇒ AB = 5√ 3 sin6 0∘ -3- 2 10 = 2R = -BC-- = BC-- ⇒ BC = 1-5. sinβ 3 2 4

Teraz korzystamy z informacji o tym, że w czworokąt można wpisać okrąg – pozwoli to nam obliczyć długość boku CD .

AB + CD = AD + BC √ -- 15- 29- √ -- 5 3 + CD = 7+ 2 ⇒ CD = 2 − 5 3.

Długość przekątnej AC obliczymy pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

AB 2 = BC 2 + AC 2 − 2BC ⋅AC cos 60∘ 225 1 5 75 = ----+ AC 2 −---AC 4 2 2 15- 75- AC − 2 AC − 4 = 0 / ⋅4 2 4AC − 30AC − 75 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

√ --- Δ = 900+ 1200 = 2 100 = (10 21)2 √ --- √ --- √ --- AC = 30−--10--21-< 0 lub AC = 30+--10--21-= 15-+-5--21-. 8 8 4

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy √ -- AC = 15+5--21 4 .  
Odpowiedź: √ -- 15 29 √ -- 15+ 5√21 AB = 5 3, BC = 2-, CD = -2 − 5 3, AC = ---4----

Wersja PDF