/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 1791391

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E . Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC . Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL | = 13|BE | i |DN | = 13|DE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.

PIC

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy z tego, że przekątne kwadratu są prostopadłe.

1 1 1 2 PKEL = -EK ⋅EL = --⋅--EA ⋅ -EB = 2 2 2 3 = 1⋅ 1EA ⋅EB = 1-⋅P = 1-⋅ 1P . 3 2 3 AEB 3 4 ABCD

Dokładnie w ten sam sposób uzasadniamy, że

PLEM = PMEN = PNEK = 1-⋅ 1-PABCD . 3 4

Mamy zatem

1 1 PKLMN-- = PKEL-+-PLEM--+-PMEN--+--PNEK--= 4⋅PLEM--= 4-⋅3-⋅4PABCD--= 1-. PABCD PABCD PABCD PABCD 3

Sposób II

Korzystamy ze wzoru na pole rombu z przekątnymi.

1 1 1 2 1 1 1 PKLMN = 2-⋅KM ⋅ NL = 2-⋅ 2AC ⋅3-BD = 3-⋅ 2AC ⋅BD = 3PABCD .
Wersja PDF