/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 2433168

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równy 16, a przekątna trapezu ma długość 5. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez i promienia okręgu opisanego na nim.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy krótszą podstawę trapezu przez a , ramię przez c a wysokość przez h .

PIC

Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków są równe. Ponieważ obwód jest równy 16, to sumy te są równe po 8. W szczególności

c = 4.

Na rysunku widzimy jak wysokości trapezu dzielą dłuższą podstawę na trzy odcinki, środkowy ma długość a , a dwa pozostałe będą mieć długość 8−a-−a 2 = 4 − a . W takim razie ′ AC = 4 . Liczymy teraz wysokość h z trójkąta prostokątnego ′ AC C .

2 2 ′2 h = AC − (AC ) h2 = 52 − 42 h2 = 9 ⇒ h = 3.

Promień okręgu wpisanego w trapez to połowa jego wysokości, zatem

r = 3-. 2

Promień okręgu opisanego możemy np. wyliczyć z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC .

AC 5 5 20 10 2R = ----- = h-= 3-= --. R = --. sin B c 4 3 3

 
Odpowiedź: Okrąg wpisany: 3 2 , opisany: 10 3 .

Wersja PDF