Zadanie nr 3363321
Dany jest równoległobok . Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do przekątnej w punkcie , a okrąg wpisany w trójkąt ma środek i jest styczny do boku w punkcie .
Wykaż, że jeżeli odcinek jest równoległy do prostej , to .
Rozwiązanie
Niech będzie rzutem punktu na bok , niech będzie rzutem na przekątną , a niech będzie punktem styczności okręgu wpisanego w trójkąt z bokiem .
Trójkąty i są przystające, więc odpowiadające sobie odcinki i łączące wierzchołki i tych trójkątów z punktami styczności i okręgów wpisanych w te trójkąty są równe. Zatem
(skorzystaliśmy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu mają tę samą długość). Wystarczy zatem udowodnić, że . Aby to zrobić patrzymy na trójkąty prostokątne i . Trójkąty te mają wspólny kąt
bo proste i są równoległe. Ponadto
To oznacza, że trójkąty i są przystające i ich przeciwprostokątne mają równe długości