Zadanie nr 3492212
W prostokącie, którego krótszy bok ma długość 8 zawarty jest kwadrat o boku równym różnicy
długości boków prostokąta, i którego przekątne są równoległe do boków prostokąta.
- Wyraź pole pozostałe po wycięciu kwadratu z prostokąta jako funkcję dłuższego boku prostokąta. Wyznacz dziedzinę otrzymanej funkcji.
- Wykaż, że różnica pól prostokąta i kwadratu jest zawsze większa od 64.
Rozwiązanie
- Oznaczmy długość dłuższego boku prostokąta przez .
Szukane pole obliczamy odejmując od pola prostokąta pole kwadratu.
Skoro ma być dłuższym bokiem prostokąta, musi być . Z drugiej strony, przekątna kwadratu nie może być dłuższa od boku prostokąta, czyli
Odpowiedź: -
Sposób I
Rozwiążmy nierówność
Wystarczy teraz zauważyć, że dziedzina funkcji jest zawarta w powyższym zbiorze, a to jest oczywiste, bo .
Sposób II
Zauważmy, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem jest równa
Zatem funkcja rośnie na lewo od 12 i maleje na prawo od 12. Ponadto jest dalej od wierzchołka niż . Zatem wartości funkcji na przedziale są nie mniejsze niż
(wygodnie jest naszkicować sobie wykres).