Zadanie nr 3492745
Przekątne trapezu przecinają się w punkcie . Przez punkt poprowadzono prostą równoległą do podstaw trapezu, która przecina ramiona trapezu w punktach i . Wykaż, że .
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Zauważmy, że trójkąty i są podobne – rzeczywiście, z równoległości prostych i wynika, że mają one równe kąty. Oznaczmy ich skalę podobieństwa przez , czyli
Teraz patrzymy na trójkąt . Jest on podobny do trójkąta w skali
Zatem
Dokładnie w ten sam sposób obliczamy długość odcinka , ale tym razem patrzymy na trójkąty podobne i .
Zatem rzeczywiście
Sposób II
Dorysujmy wysokości i trapezu. Trójkąty i są podobne, więc
Podobnie, z podobieństwa trójkątów i mamy
Sposób III
Patrzymy na trójkąty i .
Zauważmy, że ich pola są równe, bo
Liczymy teraz te pola w inny sposób.