/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 3547991

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie równoramiennym ABCD ramię ma długość 10. Obwód tego trapezu jest równy 40. Wiedząc, że tangens kąta ostrego w trapezie ABCD jest równy 34 , oblicz długości jego podstaw.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Jeżeli oznaczymy CD = EF = a i DE = CF = h to z podanego tangensa mamy

3 h 4 --= tgα = ---- ⇒ AE = -h. 4 AE 3

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AED .

AE 2 + ED 2 = AD 2 16-2 2 2 9 h + h = 1 0 25 2 2 √ - --h = 1 0 / 9 5h = 10 / ⋅ 3 3 5 h = 6.

Zatem

4- AE = 3h = 8.

Pozostało teraz skorzystać z podanego obwodu trapezu.

40 = AD + DC + CB + BF + F E + EA 40 = 10 + a + 10 + 8 + a + 8 4 = 2a ⇒ a = 2.

Zatem podstawy mają długość a = 2 i

AB = a + 2AE = 2+ 16 = 18 .

Sposób II

Jeżeli oznaczymy CD = EF = a i DE = CF = h to z podanego obwodu mamy

40 = AD + BC + AB + CD 40 = 10 + 10 + a + a + AE + F B 40 = 20 + 2a + 2AE ⇒ AE = 20−--2a-= 1 0− a . 2

Z podanego tangensa mamy

3 h 3 --= tg α = ------- ⇒ h = --(10 − a). 4 10 − a 4

Teraz pozostało napisać twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AED .

AE 2 + ED 2 = AD 2 (10 − a)2 + -9-(10− a)2 = 102 16 ( 9 ) 1 + --- (10 − a)2 = 102 16 25- 2 2 √ - 16 (10− a) = 10 / 5 4 -(1 0− a) = 10 / ⋅ -- 4 5 10 − a = 8 ⇒ a = 2.

Zatem podstawy mają długości a = 2 i 20− a = 18 .  
Odpowiedź: 2 i 18

Wersja PDF