Zadanie nr 3666241
Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny, znajduje się w odległości 4 oraz 8 od końców dłuższego ramienia trapezu. Oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Zauważmy, że trójkąty prostokątne, których jeden bok jest promieniem okręgu wpisanego, a przeciwprostokątną jest , są przystające. Zatem prosta jest dwusieczną kąta . Oznaczmy kąty na jakie dzieli ona kąt przez . Podobnie niech . Z równoległości prostych i mamy
Oznacza to, że trójkąt jest prostokątny. Na mocy twierdzenia Pitagorasa
Możemy teraz łatwo wyliczyć promień okręgu wpisanego – jest to wysokość w trójkącie opuszczona na bok .
Innym sposobem wyliczenia promienia jest fakt, że .
Mamy zatem wysokość trapezu
Długości podstaw możemy teraz wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa w odpowiednich trójkątach. My jednak zrobimy to prościej. Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, to
Mamy stąd
Odpowiedź: