/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 3679992

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie o podstawach długości 12 cm i 8 cm oraz wysokości równej 6 cm poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z otrzymanych trójkątów.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Obliczmy najpierw pola trójkątów ABC i ADC .

PABC = 1-⋅AB ⋅h = 1-⋅12 ⋅6 = 36 2 2 1- 1- PADC = 2 ⋅DC ⋅h = 2 ⋅8 ⋅6 = 24.

Jedną z najważniejszych własności trapezu, która jest notorycznie wykorzystywana w zadaniach, jest podobieństwo trójkątów ABS i DSC (mają równe kąty). W dodatku, skala podobieństwa to dokładnie stosunek długości podstaw. W szczególności

AS 12 3 ----= ---= --. SC 8 2

To oznacza, że znamy stosunek pól trójkątów ABS i BSC (bo trójkąty te mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B )

P AS 3 --ABS = ----= -. PBSC SC 2

Stąd

3 3 108 PABS = -PABC = --⋅36 = ---- 5 5 5 P = 2P = 2-⋅36 = 72. BCS 5 ABC 5 5

Analogicznie

PASD--= AS--= 3- PDSC SC 2

oraz

PASD = 3-PADC = 3-⋅2 4 = 72- 5 5 5 2- 2- 48- PDSC = 5 PADC = 5 ⋅2 4 = 5 .

 
Odpowiedź: 108, 72, 72, 48 2 5 5 5

Wersja PDF